Hola.
Hasta este momento, hemos trabajado con ecuaciones🙈 y una de las características que ellas presentan es que uno de sus lados es igual a otro. Miremos esta ecuación:
¿Recuerdas cómo resolverla?😅 ¡fácil! ... entonces sabes que el valor de la variable X en la ecuación, es 4. O sea, X=4. La balanza está equilibrada ¿verdad?😉
Practica un poco las ecuaciones. Cuando accedas al enlace, haz clic en New Equation para obtener una nueva ecuación.
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Ok! en esta oportunidad, trabajaremos con algo parecido, pero con una pequeña diferencia, trabajaremos con inecuaciones ¡Veamos cuál es la diferencia!
Primero, las definiciones pertinentes:
Una inecuación es una desigualdad algebraica que involucra una o más variables.
Una desigualdad indica que dos valores no son iguales.
¿cuáles son los símbolos más usados para indicar que dos valores no son iguales?
En el lenguaje matemático, existen varios símbolos para dar a entender que dos valores o expresiones difieren uno de otro. Ellos son: ≠, <, >, ≤, ≥. Ah! ya sabías👍. Recordemos qué indica cada uno de ellos:
El más conocido:
a ≠ b dice que a no es igual a b, es diferente.
Sin embargo, hay otros símbolos especiales que muestran de qué manera las cosas no son iguales:
a < b dice que a es menor que b
a > b dice que a es mayor que b
(estos dos símbolos se conocen como desigualdad estricta, a nunca va a tener el chance de tener el mismo valor que b)
a ≤ b significa que a es menor o igual que b
a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.
¿Por qué los usamos?
Los usamos porque hay cosas que nos sabemos a ciencia cierta. Pero aún podemos decir algo sobre ellas. Así que, tenemos diferentes maneras de decir lo que sabemos.
Ejemplo 1
Juan tenía 10 canicas, pero perdió algunas ¿cúantas canicas tiene ahora?
Primero. Veamos los hechos: Juan perdió algunas canicas. El enunciado no nos dice la cantidad exacta, pero nos da a entender que Juan ya no tiene las 10 completas, y que así como perdió una, pudo haber perdido todas las canicas.
Segundo. Declaremos la variable. Para ello debemos pensar en la pregunta ¿cúantas canicas tiene ahora? entonces la variable X nos debe indicar el número de canicas que le quedaron a Juan después de su pérdida.
Tercero, expresemos las dos ideas iniciales en lenguaje matemático:
Juan no tiene las 10 canicas completas. X < 10
Juan, así como pudo haber perdido 1 canica, pudo haberlas perdido todas. X ≥ 0
Por último, juntemos las dos ideas y plantea la desigualdad. Pensemos en los valores que puede tener la X: Juan tiene más de 0 canicas y menos de 10 canicas.
0 ≤ X < 10.
¿qué pasó? pasó que teniendo en cuenta que la "boquita cerrada" apunta hacia el menor valor, reorganizamos las expresiones y, escribimos el menor valor que puede tomar X a la izquierda y, el mayor valor a la derecha. 0 ≤ X < 10, nos indica que a Juan le quedaron de 0 a 9 canicas.
Ejemplo 2
Jacobo va a mercar y comienza con $100.000 en el bolsillo. Compra las carnes y dice "tengo cambio" ¿cuánto gastó Jacobo?
Resolvamos el ejemplo, siguiendo los 3 pasos recomendados. 1) Los hechos. 2)La variable. 3)Las ideas en lenguaje matemático. 4)Plantea la desigualdad.
1) Jacobo va a mercar y comienza con $100.000 en el bolsillo.
2) X: el dinero de Jacobo.
3) Jacobo ya no tiene los cien mil pesos completos. X < $100.000,oo
Jacobo, no gastó todo el dinero. X > $0,oo
4) Desigualdad. Pensemos en los valores que puede tener la X:
Jacobo tiene más de $0,oo y menos de $100.000,oo: 0 < X < 100.000
Por otra parte, en la vida real podemos encontrar desigualdades para expresar ciertas situaciones. Por ejemplo:
- El límite de la velocidad
- El pago mínimo de una tarjeta de crédito
- La cantidad de llamadas que puedes hacer desde tu celular cada mes.
- El tiempo que tomas en llegar a la escuela.
¿se te ocurren otras ideas?
Si digo que el límite de la velocidad es 60 Km/h quiere decir que puedo viajar hasta los 60 Km /h. No necesariamente andar a esa velocidad, puedo hacerlo por menos, pero no por más.
Mira estas frases:
* Margen de error
* Más o menos
* Más menos
* Aproximadamente
¿piensas que esas frases nos dan a entender la existencia de una desigualdad?
Si hago ejercicio, un cambio físico tangible que puedo percibir en mi cuerpo está relacionado con mi peso y puedo reflexionar acerca de lo siguiente:
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Si el margen de error de mi báscula es de 1 Kg y la báscula marcó 55Kg, mi peso real está entre los 54Kg y los 56Kg 💪.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Recordemos
los diferentes intervalos, en que se pueden expresar las soluciones:
Ejemplo 3
En una curtidora, un trabajador usa la máquina para cortar cuero en tiras en el proceso de elaboración de cinturones. Los cinturones deben medir 35 pulgadas de largo, pero el trabajador tiene un margen de error permitido hasta de 1/10 de pulgada para que el cinturón sea aceptado como de buena calidad.
Escribe una desigualdad que represente la longitud aceptable de los cinturones fabricados y encuentra la longitud máxima y mínima para que acepten el cinturón.
1) La longitud esperada del cinturón es 35" de largo.
2) X: longitud real del cinturón.
3) Si el margen de error permitido es 1/10", entonces la longitud real puede ser 1/10" más largo ó 1/10" más corto. Es decir, la diferencia entre la longitud esperada y la longitud real debe ser menor a 1/10"
4) Desigualdad. Para ello debemos escribir en lenguaje matemático la información recibida:
¿por qué entre valor absoluto?
Porque no importa si el cinturón resulta más largo o corto, siempre y cuando la distancia entre la longitud esperada (nuestro punto de referencia) y la longitud real sea menor que el margen de error.
Desarrollemos la inecuación. Recuerda la definición de valor absoluto por lo que se debe analizar desde dos puntos de vista: el positivo y el negativo.
RESPUESTA:
La longitud de un cinturón aceptable como de buena calidad oscila entre 34,9" y 35,1".
34,9" < X < 35,1"
Ejemplo 4
Representa sobre la recta real, el conjunto solución de la inecuación planteada.
I M P O R T A N T E
* Cuando multiplicamos por -1, para cambiar el signo de la variable, se debe cambiar el sentido del signo de la desigualdad. En el ejemplo 3, cambió de menor que, <, a mayor que, >. En el ejemplo 4, de mayor que, >, cambió a menor que, <.
* Como se está analizando desde lo positivo y desde lo negativo, la solución se representa en forma de intervalo. Es decir, no hay una sola solución, es un conjunto de soluciones. Si observamos la recta real del ejemplo 4, la variable nunca podrá tomar los valores comprendidos entre (-2/3 , 2/3). Recuerda que los paréntesis representan un intervalo abierto, que no incluyen los extremos del intervalo.
