LOS NÚMEROS ENTEROS
¡Hola!
Te cuento que con los números naturales no fue posible expresar algunas cantidades que surgieron con los números relativos y signados.
Por ejemplo, ¿cómo representar 4°C bajo cero? o ¿cómo representar una deuda de $500.000? o ¿cómo representar 30m bajo el nivel del mar?
Así que hubo necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales con el cero y con los números opuestos a cada uno de los ya existentes. Recuerda que los números naturales se representan a la derecha del cero en la recta numérica, entonces, esta ampliación se hizo hacia la izquierda.
Se tomó como refererencia la distancia de cada número hasta el 0. Es decir, si voy a encontrar el opuesto de 5, primero debo contar las unidades que hay desde el 5 hasta el 0. En este caso son 5 unidades. Luego de esto, cuento esta misma cantidad de unidades a la izquierda del cero, así conservo la misma magnitud que usé para señalar las unidades tanto a la derecha como a la izquierda.
Siempre que representemos estos números en una recta numérica, ubicamos el cero (0) en el centro de la línea y cada extremo lo terminamos con una punta de flecha, indicando que se extiende hasta el infinito (∞).
Ten presente que las rectas numéricas pueden presentarse horizontales o verticales. Así que, puedes posicionar los números a la derecha (positivos) o izquierda (negativos), arriba (positivos) o abajo (negativos).
Como conjunto numérico se representan con la letra Z. y se denotan así:
Z={-∞..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4, …+∞}
De acuerdo a esto, podemos decir con toda seguridad que el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros: N ⊂ Z
En la recta numérica se representan así:
Ten presente que el signo "menos" siempre debe anteponerse al número negativo que vamos a representar, es decir, debe escribirse a la izquierda del número.
VALOR ABSOLUTO
Resulta que cuando te expliqué la forma en que se amplió el conjunto de los números naturales, mencionamos que a cada número natural le correspondió el mismo número al lado izquierdo del cero, conservando igual distancia.
Señalamos el ejemplo del 5 y el -5.
Así que, la distancia entre un número entero y el cero es el número de unidades que los separa cuando están situados sobre una recta numérica y este concepto es el de VALOR ABSOLUTO.
El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que lo separa del cero en la recta numérica.
** Cabe decir que la distancia es una magnitud de medida, por lo tanto no tiene signo (siempre será positiva)
En la práctica el valor absoluto se escribe entre dos barras │ │, así:
Valor absoluto de −3 se escribe │−3│y es 3.
Valor absoluto de +5 se escribe │+5│y es 5.
Si dos números enteros tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo, se llaman opuestos. El opuesto de cero es cero (es único).
Ejemplo:
│+5│=5 y │−5│= 5
Los números +5 y −5 están a la misma distancia del origen.
** Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. Ejemplo: 5 + (−5) = 0
ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
En ocasiones, yo creo que en realidad siempre, nos comunican las cantidades numéricas de forma oral o escrita usando simplemente "los números" en símbolos o en palabras, pero no en una recta numérica.
Así que te pido un favor especial, conserva la recta numérica como una de tus "mejores aliadas" para realizar procesos mentales y entender de forma gráfica, cómo ordenar las cantidades que te están dando en una situación problema.
Bueno y si nos dan dos números enteros, ¿cómo distingo cuál es mayor que otro?
Mira:
¿cuál es el número mayor?
¿cuál es el número mayor entre -6 y -2?
Bueno, en la recta se aprecia mucho mejor que entre los tres números, -6, -2 y 8, el 8 es el que está situado más hacia la derecha. Es decir que el número mayor entre -6, -2 y 8 es el 8.
Y entre -6 y -2, el número que está más a la derecha es el -2. Así que -2 es mayor que -6: -2 > -6.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Entonces, de ahora en adelante utilicemos los números naturales solo para contar y ampliemos las operaciones básicas con los números enteros.
Sin embargo te pido especial cuidado pues debemos fijarnos SIEMPRE en los signos que acompañan a cada número.
¿Te has fijado en que por lo general, a los números positivos no se les coloca signo? Se supone que los positivos deben estar acompañados del signo +, sin embargo, por convención, a estos números no se les escribe ningún signo y el + lo reservamos para indicar las sumas.
Suma de números enteros
CASO 1. Suma de todos los números POSITIVOS.
Esta suma no tiene inconveniente. Se suma común y silvestre.
CASO 2. Suma de todos los números NEGATIVOS.
Esta suma tampoco tiene inconveniente. Se suman todos los números y el resultado conserva el signo menos.
CASO 3. Suma de números POSITIVOS y NEGATIVOS.
Esta suma se realiza en dos pasos. PASO 1: Se suman todos los números del mismo signo y PASO 2: Se restan entre si. El resultado conserva el signo del número más grande.
Resta de números enteros
CASO 1. Resta de un número POSITIVO y uno NEGATIVO.
Aplica la Ley de signos: Menos POR Menos = MÁS. Al final el calculo que se hace es una suma.
CASO 2. Resta de dos números NEGATIVOS.
Aplica la Ley de signos: Menos POR Menos = MÁS. Al final lo que se hace es una resta.
El elemento neutro de la suma de números enteros es el 0. Pues si sumo cualquier número entero mas 0, como resultado sigo obteniendo el mismo número.
Los números enteros cumplen las propiedades CONMUTATIVA PARA LA SUMA (el orden de los sumandos no varía la suma), ASOCIATIVA (el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado), INTERNA (el resultado de sumar o restar dos números enteros es otro número entero).
Los números enteros no cumplen la propiedad CONMUTATIVA PARA LA RESTA porque si a y b son enteros y hago a-b. No es lo mismo cambiarlos a b-a.
a - b ≠ b -a
Ejemplo:
5 -2 ≠ 2 -5
3 ≠ -3
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero. Para encontrar el signo del resultado aplica la Ley de signos.
Ejemplos:
2 * 5 = 10
(-2) * (-5) = 10
2 * (-5) = -10
(-2) * 5 = -10
Sigue el enlace para aprender un poco más.
El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Pues si multiplico cualquier número entero por 1, sigo obteniendo el mismo número.
Con la propiedad distributiva de la multiplicación, (producto de un número y una suma) podemos sacar el inverso es decir, sacar factor común. Veamos:
Propiedad distributiva de la multiplicación:
a * (b+c) = a*b + a*c
Ejemplo: -2 * (3+5) = (-2)*3 + (-2)*5
= -6 + (-10)
= -6 -10
= -16
Factor común: a*b + a*c = a * (b+c)
-6 -10 = (-2)*3 + (-2)*5
(-2)*3 + (-2)*5 = -2 * (3+5)
El factor común de -6-10 es -2
En el factor común debemos descomponer los números en factores primos para encontrar el común entre ellos.
En el ejemplo, al descomponer 6 y 10 en factores, encontramos:
6 se puede reescribir como 2 * 3
10 se puede reescribir como 2 * 5
al estar el 2 presente en las dos multiplicaciones lo sacamos de la operación. Inclusive, -6 y -10 tienen otra cosa en común: el signo menos. Entonces, también podemos sacar de la operación este signo.
Así que -6 -10 será lo mismo que decir -(2 * 3) - (2 * 5)
y -(2 * 3) - (2 * 5) será lo mismo que decir -2(3+5)
y ¿de dónde salió ese + del 5? pues salió de la ley de signos pues +*-=-
Hagamos otro ejemplo:
-49 -28 = (-7)*7 + (-7)*4
(-7)*7 + (-7)*4 = -7 * (7+4)
El factor común de -49-28 es -7
otro ejemplo:
-120 +6 = 3*(-40) + 3*2
3*(-40) + 3*2 = 3 * (-40+2)
El factor común de -120+6 es 3
otro ejemplo:
3X + 5X = X*3 + X*5
X*3 + X*5 = X * (3+5)
El factor común de 3X + 5X es X
Si quieres saber si las cosas te están saliendo bien, verifica que las operaciones a cada lado de la igualdad te den exactamente el mismo valor.
(-2)*3 + (-2)*5 = -2 * (3+5)
-16 = -16
(-7)*7 + (-7)*4 = -7 * (7+4)
-77 = -77
3*(-40) + 3*2 = 3 * (-40+2)
-114 = -114
X*3 + X*5 = X * (3+5)
8X = 8X
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