ACTIVITY: Expresiones algebraicas para calcular áreas y volúmenes.

 

ÁREAS Y VOLUMENES EN TU HUERTO CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El proyecto ambiental propone la realización de una huerta casera, para su diseño se debe considerar el tamaño del terreno que será sembrado y el tipo de planta a sembrar. 

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If your garden is a rectangle, then you have a simple calculation. You just have to measure its width and length and multiply them together: 




Rectangle: Area = W × L

W = width

L = length




If your garden is a circle: 

● measure a straight line from the centre of the circle to the outside – this is the radius. 

● Multiply this value by itself and then multiply the answer by Pi. (If you don’t have a scientific calculator 3.142 will do the job!) This will give you the area. 

● If you have measured in metres, you now have the area in square metres. 

● If you have measured in feet or yards, look at the magic numbers section to convert this into square metres. 

A = π r2 

Where A is the Area, and r is the radius

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¡Hola!

Supongamos que deseas tomar los siguientes recipientes para sembrar plantas de tomate, cebolla y frijol.

TAREAS PARA PRESENTAR EN CLASSROOM:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA PARA EL ÁREA

LA BASE DE LAS MATERAS DE DOÑA JUANA
a. Determina la expresión matemática que representa el área de cada base de los recipientes. 

EXPRESIÓN ALGEBRAICA PARA EL VOLUMEN

CAPACIDAD DE LAS MATERAS DE DOÑA JUANA
b. Determina la expresión matemática que representa el volumen de cada recipiente.

VALOR NUMÉRICO DEL ÁREA Y EL VOLUMEN

c. Calcula el valor numérico del área y del volumen de cada recipiente si x=2; y=3/4; m=3; n=5/3 

CANTIDAD DE TIERRA
d. Con base en los resultados anteriores, determina la cantidad de tierra que requieres para los 3 recipientes, si está medida en gramos.

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There are many different containers types on the market. It finds the volume according to the formulas:

          Rectangular - e.g. raised bed soil containers
volume of rectangular cuboid: volume = depth * length * width

          Round
volume of a cylinder: volume = π * R² * depth , where R is a radius

          Flower pot in the shape of truncated cone
volume of a truncated cone: volume = (1/3) * π * depth * (r² + r * R + R²), where r is a radius of the base of flower pot, and R of top surface radius.

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Cuando termines en tu cuaderno, le tomas una fotico a cada actividad y me las envías por Classroom:

Ir a Classroom

Ver ¿QUÉ SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS?

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Ecuación cuadrática

 

ECUACIÓN CUADRÁTICA O ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

¡Hola!

Recordemos que el grado de una ecuación se define con el mayor exponente que tengan sus variables. En este caso, el grado de la ECUACIÓN CUADRÁTICA, como su nombre lo indica es 2.

¿QUÉ HARÁ LA ECUACIÓN CUADRÁTICA PARA SALVAR AL HOMBRE BALA?

ECUACIÓN CUADRÁTICA

¡Determinará dónde ubicar la malla, sabiendo que la trayectoria del hombre bala es una parábola por medio de una FÓRMULA CUADRÁTICA!

FÓRMULA CUARÁTICA

Reemplazamos los valores obtenidos en la FÓRMULA CUADRÁTICA:

En el caso de nuestra ecuación cuadrática, nuestro discriminante fue 10. 

10 es un número real positivo, lo que indica que la ecuación tiene dos soluciones.

Las ecuaciones cuadráticas pueden tener cero, una o dos soluciones, dependiendo de los coeficientes que aparezcan en dicha ecuación. Por lo tanto, se debe evaluar cuál de ellas es la más conveniente.

Profundiza má acerca de

DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

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Multiplicación de dos binomios

 

Para multiplicar dos binomios sigue el método FOIL

F de First (primero)

O de Outer (exterior)

I de Inner (interior)

L de Last (último)

¿CÓMO MULTIPLICAR DOS BINOMIOS?

En estricto orden:

Escribe la multiplicación de binomios que deseas realizar.

Para comenzar multiplica entre sí, los primeros términos de cada binomio.

A continuación, multiplica entre si, los términos que están más al exterior de los binomios.

En seguida, multiplica entre si, los términos que están más al interior de los binomios.

Para finalizar, multiplica entre si, los últimos términos de los binomios.

Ahora, suma todos los términos.

¡Pilas con los signos!

Consulta LA LEY DE SIGNOS

Ejemplo 1: 

Realiza la siguiente multiplicación: (X+2)(X+7)

F :  X . X = X²

O : X . 7 = 7X  ... (por convención se escribe de primero el número -coeficiente)

I : 2 . X = 2X

L : 2 . 7 = 14

Sumamos todos los términos:

= X² + 7X + 2X + 14 

I M P O R T A N T E:   7X y 2X son términos semejantes. Tienen igual variable con igual grado.

Agrupamos los términos semejantes y los sumamos entre si:

= X² + (7X + 2X) + 14

= X² + 9X + 14

  

Ejemplo 2: 

Realiza la siguiente multiplicación: 

(5X⁴ - 3X²)(8X² + 6X³)

F :  5X⁴ . 8X² = (5 . 8)( X⁴ . X²) = 40X⁶

O : 5X⁴ . 6X³ = (5 . 6)( X⁴ . X³) = 30X⁷ 

I : - 3X² . 8X² = (-3 . 8)( X² . X²) = -24X⁴ 

L : - 3X² . 6X³ = (-3 . 6)( X² . X³) = -18X⁵ 

¡Pilas con los exponentes!

Consulta LAS PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN y la Potenciación

Sumamos todos los términos:

= 40X⁶ + 30X⁷ + ( -24X⁴) + ( -18X⁵)

= 40X⁶ + 30X⁷ - 24X⁴ - 18X⁵

= 30X⁷+ 40X⁶ - 24X⁴ - 18X⁵

I M P O R T A N T E:   Ordenamos la expresión algebraica de forma DESCENDENTE.

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Áreas y Volúmenes a partir de expresiones algebraicas

 

¡Hola!

Usamos expresiones algebraicas para resolver problemas relacionados con perímetros, áreas y volúmenes, especialmente cuando nos hace falta un dato o parte de él.   

Para resolver la expresión algebraica que me ayudará a encontrar el dato que me falta, debo:

PRIMERO. 

Leer y entender todas las palabras e ideas que me da el problema. Realizo un dibujo si es necesario.

SEGUNDO.

Identificar el dato que ando buscando.

TERCERO.

Nombrar la variable. Representarla con una LETRA.

CUARTO.

Escribir las expresiones, de manera que se modele la situación descrita en el problema.

QUINTO.

Resolver la ecuación planteada.

SEXTO.

Verificar que la respuesta encontrada es la correcta.

SÉPTIMO.

Responder la pregunta que me plantearon.

REVISA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS - COPIALOS EN TU CUADERNO, CON MUCHO CUIDADO Y SIN ERRORES.

Ejemplo 1:

Vamos a calcular el volumen de un sólido de 14 cm de largo, 17 cm de alto y 9 cm de profundidad, siguiendo los pasos mencionados.

1. Dibujo

2. ¿qué dato busco?

Rta/ El volumen

3. Variable definida

Rta/ V

4. Expresión

Rta/   V= Longitud * Alto * Profundidad

5. Solución

Rta/  V= 14 * 17 * 9

        V=2142 cm³

6. Verifica

Rta/ V=2142 cm³

7. Respuesta

Rta/ El volumen del sólido es 2142 centímetros cúbicos.

Ejemplo 2:

Plantea una ecuación cuadrática* para resolver las siguiente situación y encuentra el valor de la incógnita

* Una ecuación cuadrática es una ecuación de grado 2. Es decir, el mayor exponente de la variable es 2 y la ecuación tiene 3 términos.

El área total de un terreno es de 5600 unidades cuadradas y mi casa está en el recuadro de la esquina ¿cuánto mide cada lado de mi casa?

1. Dibujo

Los datos que puedo identificar son:

• El área total del terreno es 5600 unidades cuadradas
• La forma del terreno es un rectángulo.
• La forma de mi casa es un cuadrado.
• La base del terreno es BASE = 50 + x
• la altura del terreno es ALTURA = 60 + x
• El área de un rectángulo es base x altura
• El área de un cuadrado es lado x lado

2. ¿qué dato busco?

Rta/ Cuánto mide el lado de mi casa

3. Variable definida

Rta/ El lado de mi casa que vamos a encontrar será X.

4. Expresión

Rta/   

Partiendo de los datos identificados:

La base del terreno es BASE = 50 + x

La altura del terreno es ALTURA = 60 + x

Calculamos el área del terreno, según la fórmula del área de un rectángulo: 

   5600 = BASE * ALTURA

EXPRESION 1:        5600 = (50 + x) . (60 + x)

    

Vamos a resolver la parte derecha de esta ecuación: (50 + x) . (60 + x)

Como cada expresión entre paréntesis es un binomio, decimos que

esto es la multiplicación de dos binominos.

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Consulta: MULTIPLICACION DE DOS BINOMIOS

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Multipliquemos los binomios siguiendo el método FOIL:

(50 + x) . (60 + x)

F : 50 . 60 = 3000

O : 50 . X = 50X  ... (por convención se escribe de primero el número -coeficiente-)

I : X . 60 = 60X

L : X . X = X²

(50 + x) . (60 + x) = 3000 + 50X + 60X + X²

Agrupamos los términos semejantes y los sumamos entre si:

= 3000 + (50X + 60X) + X²

= 3000 + 110X + X²

Ordenamos la expresión algebraica de forma DESCENDENTE.

=   X² + 110X + 3000   

ESTE ES EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS DOS BINOMIOS.

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Retomamos LA EXPRESIÓN 1. para encontrar el área del terreno.

En lugar de escribir la multiplicación de dos binomios escribiremos el resultado:

5600 = X² + 110X + 3000

Llevamos el 5600 al lado derecho de la ecuación, sumando el opuesto aditivo de 5600 a cada lado de la ecuación:

5600 - 5600 = X² + 110X + 3000 - 5600 

                0 = X² + 110X - 2600 

Intercambiamos los lados de la ecuación. El lado izquierdo lo pasamos al lado derecho y el lado derecho al lado izquierdo:

X² + 110X - 2600 = 0  

ESTA ES LA EXPRESIÓN QUE ME PERMITIRÁ ENCONTRAR CUÁNTO MIDE EL LADO DE MI CASA

5. Solución

Rta/  

X² + 110X - 2600 = 0  es una ecuación cuadrática y se resuelve usando la FÓRMULA CUADRÁTICA GENERÁL

6. Verifica

Rta/

El área del terreno es: 

5600 = BASE * ALTURA

reemplazamos el valor de la X:

5600 = (50 + 20) . (60 + 20)

5600 = 70 . 80

5600 = 5600

EL LADO DERCHO ES IGUAL AL LADO IZQUIERDO.

EL VALOR DE LA X ENCONTRADO, ES CORRECTO.

7. Respuesta

Rta/ El lado de mi casa mide 20 unidades.

CONTINÚA CON LA ACTIVIDAD DE TRANSFERENCIA.

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Cómo resolver Expresiones Algebraicas

 

¡Hola!

El propósito de resolver expresiones algebraicas es encontrar el valor de una variable o incógnita. Cuando igualamos dos expresiones, forman una ecuación y allí se hace más fácil resolver los términos desconocidos.

¿CÓMO RESOLVER EXPRESIONES ALGEBRAICAS?

Para resolver una ecuación, aísla las variables a un lado del igual (por lo general el izquierdo) y deja las constantes al otro. Realiza las operaciones aritméticas a que haya lugar: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.

Diferencia dos tipos de ecuaciones: las multiplicativas y las aditivas.

ECUACIONES MULTIPLICATIVAS:

Ejemplo:

Encuentra el valor de la X en la expresión:

5X = 10

Para que sea una ecuación multiplicativa debe TENER UN SÓLO TÉRMINO CON VARIABLE y la principal operación aritmética entre la variable y el número debe ser una multiplicación o una división. 

En este caso, el 5 multiplica la X.

Se resuelve así:

1. Por el principio de igualdad, multiplicamos a ambos lados de la ecuación, por el "inverso multiplicativo de 5" que es UN QUINTO:

2. Resolvemos:

ECUACIONES ADITIVAS:

Ejemplo 1:

Encuentra el valor de la X en la expresión:

5X +10 = 50

Esta ecuación es ADITIVA porque tiene más de DOS TÉRMINOS y entre ellos hay una SUMA o RESTA.

Se resuelve así:

1. Por el principio de igualdad, restamos a ambos lados de la ecuación, el 10 para iniciar el despeje de la variable. Nos queda así:

5X +10 - 10 = 50 - 10

              5X = 40

Entonces, la ecuación se nos convirtió en una ecuación multiplicativa. Así que:

2. Resolvemos:

Ejemplo 2:

Encuentra el valor de la X en la expresión:

5X + 45 = 100

Esta ecuación es ADITIVA porque tiene más de DOS TÉRMINOS y entre ellos hay una SUMA o RESTA.

Se resuelve así:

1. Por el principio de igualdad, restamos a ambos lados de la ecuación, el 45 para iniciar el despeje de la variable. Nos queda así:

5X +45 - 45 = 100 - 45

              5X = 55

Entonces, la ecuación se nos convirtió en una ecuación multiplicativa. Así que:

2. Resolvemos:

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Expresiones Algebraicas

¡Hola!

Te cuento que el álgebra es una rama de las ramas de las matemáticas, en las que números, símbolos y letras son usadas para expresar problemas.

Por lo general, los problemas son casos de la vida real y son presentados como historias cortas. La idea es traducir estos problemas descritos con palabras a EXPRESIONES ALGEBRAICAS cuando necesitemos resolverlos. 

¿QUÉ SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS?

Una expresión algebraica es una frase que combina variables y constantes usando los operadores matemáticos: +,-, x, ÷. NO USAN EL SÍMBOLO =

Las variables son las letras.

Los coeficientes son los números que acompañan las letras.

Las constantes son los números solitos, sin letras a su lado.

Los términos son cada combinación de letras y números entre los operadores.

Ejemplo:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA 1 de dos términos.   10X + 63

EXPRESIÓN ALGEBRAICA 2 de dos términos.   5X - 2

Las expresiones algebraicas se diferencian de las ecuaciones porque estas SI USAN EL SIMBOLO =.

Una ecuación son dos expresiones algebraicas conectadas por el símbolo =, e indica que el lado izquierdo es igual al lado derecho. 

Ejemplo:

ECUACIÓN 1.   10X + 63  =  5X - 2

Entonces,

Una variable es una letra, que representa un valor desconocido. Por ejemplo, en la expresión 10X + 63, X es la variable.

Un coeficiente es un valor numérico que acompaña la variable y la multiplica, puede ser un ENTERO o un RACIONAL. Por ejemplo, en la expresión 10X + 63, 10 es el coeficiente.

Una constante es un término que tiene un valor definido. Por ejemplo, en la expresión 10X + 63, 63 es una constante.

A las expresiones algebraicas se les han asignado nombres según la cantidad de términos que incluyan, veamos algunos:

MONOMIOS

Tienen un solo término. Ejemplos:

5X

3y³

4xy

BINOMIOS

Tienen dos términos. Ejemplos:

(5x + 8)

(3y³ + 4)

TRINOMIOS

Tienen tres términos. Ejemplos:

(x² + 5x + 25)

(9m² + 6mn + n²)

POLINOMIOS

Son todas las expresiones algebraicas con más de un término y NINGUNA de sus variables tiene el cero como exponente. Ejemplos:

(5xy² - 3x + 5y³ - 3)

(x² - 3x + 5)

POLINOMIOS COMPLETOS

Son todas las expresiones algebraicas que contienen todos los terminos, dependiendo del exponente mayor de las variables.

Ejemplo 1: Si en una expresión, la variable tiene exponente 2, para que sea un polinomio completo, esta deberá tener TRES TÉRMINOS, organizados de forma descendente o ascendente, según el exponente de la variable con mayor, así:

(x² + 5x + 25)   Este polinomio tiene 3 términos, está completo y está organizado de forma descendente. 

Vemos que en el primer término, la variable es X y tiene el exponente mayor 2.  Entonces decimos que el polinomio es de grado 2.

Le sigue el termino 5x, en donde la variable es la misma X pero su exponente es 1 (por convención este exponente nunca se escribe).

Por último está el término independiente (del que podríamos decir que si tuviera variable, sería X con exponente 0, pues todo número elevado a la cero es 1) 

Ejemplo 2: El polinomio 3x² + 5x + 7x⁴ + 4 + x³ +x⁵ ¿es completo o incompleto?

Para saberlo, primero debemos ordenar el polinomio de forma descendente. Empezamos por el término que incluye el mayor de los exponentes. Este exponente es 5m, entonces la expresión deberá tener 6 términos:

x⁵ + 7x⁴ +  x³ + 3x² + 5x + 4

¡el polinomio es completo y es de grado 5!

Ejemplo 3: El polinomio 3x² +  4 - x³ + x⁵ ¿es completo o incompleto?

ordenemos el polinomio de forma descendente:

x⁵ -  x³ + 3x² + 4

¡el polinomio es incompleto! es de grado 5, pero tiene apenas 4 términos.

SE DICE QUE UN POLINOMIO ESTÁ ORDENADO DE FORMA DESCENDENTE, SI SUS TÉRMINOS ESTÁN ESCRITOS DE MAYOR A MENOR GRADO

EXPRESIONES NUMÉRICAS

Una EXPRESIÓN NUMÉRICA contiene solo números y operadores. No incluye variables. Ejemplo: 

2 + 4

5 - 1

400 + 600

EXPRESIONES VARIABLES

Una EXPRESIÓN VARIABLES contiene solo variables, coeficientes y operadores. No incluye constantes. Ejemplo: 

6x + y

7xy - 1

¿CÓMO RESOLVER UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA?

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ACTIVITIES: Superficie ocupada por un objeto

 

SUPERFICIE OCUPADA POR UN OBJETO

¡Hola! 

Se sabe que el área hace referencia a la superficie a la SUPERFICIE OCUPADA POR UN OBJETO.

Imaginemos que el área en la que vas a sembrar tu huerto tiene forma cuadrada cuadrada y cada lado mide 1m. Así que cuentas con un área para sembrar de 1m2 (un metro cuadrado). 

Entonces, decides que el diseño de tu siembra va a ser como el del Tangram y vas a sembrar según lo muestra la tabla mostrada a continuación. 

De igual forma, para efectos de controlar el área cultivada de cada verdura y no tener que decir por ejemplo un cuarto de metro… decides expresar cada porción de área en decimales.

Repasa los conceptos de perímetro, área y vomúmen antes de realizar la actividad.

ACTIVITY 1: DISEÑO DEL HUERTO

Dibuja el Tangram 1 en tu cuaderno y ubica en él las verduras que vas a sembrar, según la fracción que representa cada figura formada.

Como pista, ten en cuenta que se hizo una división inicial DEL CUADRADO en 2 partes, en donde cada una de ellas sería: 

Luego, una de esas partes se dividió en la mitad, es decir, la mitad de la mitad: 

o lo mismo que decir (ley de oreja):

y así sucesivamente.

ACTIVITY 2: DE FRACCIÓN A DECIMAL
Realiza la tabla en tu cuaderno y complétala, expresando cada fracción como un número decimal.

ACTIVITY 3: SEPARANDO LOS CULTIVOS

Resulta que para separar los cultivos, debes hacer un cerco de alambre, pero necesitas saber cuánto alambre debes comprar. Con una lana, piola, cuerda o cordones atados, arma una tira bien larga y dibuja el Tangram en el suelo de tu casa. DILE A TU FAMILIA QUE TE AYUDE. 

Ten en cuenta que cada lado del cuadrado grande mide 1m. Con un metro de costura o de construcción, mide los lados de las figuras y encuentra el perímetro de cada una de ellas. Coloca los resultados en el Tangram 2 en metros.

Nota: usa tres posiciones decimales para dar la medida. Por ejemplo, si un lado, midió 30 centímetros y medio, deberás escribir: 0,305 m

Revisa el siguiente video para llenar la tabla:

Cuando termines, le tomas una fotico a cada actividad realizada en tu cuaderno y me la envías por Classroom en la tarea correspondiente:

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